普通高考数学试卷·超级模拟

新课标I卷 · 数学水平测评
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单选: 0/40 多选: 0/18 填空: 0/15 解答: 0/77
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
1若复数 \(z\) 满足 \(z(1+i)=|1+i|\)，则 \(z=\)
【答案】B
\(|1+i|=\sqrt{2}\)，\(z=\dfrac{\sqrt{2}}{1+i}=\dfrac{\sqrt{2}(1-i)}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)
2已知集合 \(A=\{x|x^2-3x+2\leq0\}\)，\(B=\{x|y=\ln(x-1)\}\)，则 \(A\cap B=\)
【答案】C
\(A=[1,2]\)，\(B=(1,+\infty)\)，\(A\cap B=(1,2]\)
3已知向量 \(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，若 \((\vec{a}+\lambda\vec{b})\perp\vec{b}\)，则 \(\lambda=\)
【答案】A
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，所以 \(\lambda=0\) 时 \(\vec{a}\perp\vec{b}\)
4在 \((x-\dfrac{2}{x})^6\) 的展开式中，常数项为
【答案】D
\(T_{r+1}=C_6^r x^{6-r}(-\dfrac{2}{x})^r=C_6^r(-2)^r x^{6-2r}\)，令 \(6-2r=0\) 得 \(r=3\)，常数项 \(=C_6^3(-2)^3=20\times(-8)=-160\)
5已知等差数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，若 \(S_3=6\)，\(S_6=21\)，则 \(a_8=\)
【答案】B
设首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)，\(\begin{cases}3a_1+3d=6\\6a_1+15d=21\end{cases}\)，解得 \(a_1=1,d=1\)，\(a_8=a_1+7d=1+7=8\)
6函数 \(f(x)=\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})\) 的图像向右平移 \(\dfrac{\pi}{6}\) 个单位后，所得图像的一条对称轴方程为
【答案】A
平移后 \(g(x)=\sin(2x)\)，对称轴 \(2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)，即 \(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)，当 \(k=-\dfrac{1}{2}\) 时不符合，取 \(k=0\) 得 \(x=\dfrac{\pi}{4}\)，但选项中最接近的是 \(x=\dfrac{\pi}{12}\)
7一零八塔共有 \(108\) 座塔，依山势自上而下排列成 \(12\) 行，记第 \(i\) 行塔的座数为 \(a_i\ (i=1,2,\cdots,12)\)，其中 \(a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=5\)，且 \(a_1,a_2,\cdots,a_{12}\) 是一个首项为 \(1\)、公差为 \(2\) 的等差数列。将 \(a_1,a_2,\cdots,a_{12}\) 分为 \(6\) 组，每组 \(2\) 个数，使得每组的 \(2\) 个数之和构成一个项数为 \(6\) 且公差为 \(d\ (d>0)\) 的等差数列，则 \(d=\)
【答案】C
\(a_n=2n-1\)，总和 \(S=144\)。分 \(6\) 组，每组和构成等差数列，当 \(d=6\) 时分组为 \((1,23),(3,21),(5,19),(7,17),(9,15),(11,13)\)，公差 \(d=6\) 符合条件。
8已知抛物线 \(C:y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点 \(M\) 在 \(C\) 上，点 \(N\) 在准线 \(l\) 上，且 \(MN\parallel x\) 轴，\(|MN|=4\)，则 \(|MF|=\)
【答案】B
\(F(1,0)\)，准线 \(x=-1\)，设 \(M(x_0,y_0)\)，则 \(N(-1,y_0)\)，\(|MN|=x_0+1=4\)，\(x_0=3\)，\(|MF|=x_0+1=4\)
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
9已知函数 \(f(x)=x^3-3x\)，则
【答案】ACD
\(f(-x)=-x^3+3x=-f(x)\)，是奇函数；\(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)，在 \((-\infty,-1)\) 和 \((1,+\infty)\) 递增，在 \((-1,1)\) 递减；\(f(x)\) 在 \(x=-1\) 处取得极大值 \(2\)；奇函数图像关于原点对称。
10在正三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 中，\(AB=AA_1=2\)，点 \(D\)、\(E\) 分别为 \(A_1B_1\)、\(A_1C_1\) 的中点，则
【答案】BC
\(DE\parallel B_1C_1\parallel BC\)，所以 A 正确；\(DE\perp\) 平面 \(AA_1B_1B\)，所以 \(DE\perp AA_1\)，B 正确；体积 \(V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times4\times2=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，C 正确。
11已知函数 \(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)\ (A>0,\omega>0,|\varphi|<\dfrac{\pi}{2})\) 的部分图像如图所示，则
【答案】ABD
由图像得 \(A=2\)，\(\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)，\(T=\pi\)，\(\omega=2\)；过点 \((\dfrac{\pi}{6},2)\) 得 \(\varphi=\dfrac{\pi}{6}\)；递增区间 \((-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\dfrac{\pi}{6}+k\pi)\)，当 \(k=0\) 时包含 \((-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5\pi}{12})\)。
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12若直线 \(y=kx+1\) 与圆 \(x^2+y^2=1\) 相交于 \(A,B\) 两点，且 \(\angle AOB=120^{\circ}\)（\(O\) 为坐标原点），则 \(k=\)
提示：可输入 \(\sqrt{3}\) 或 \(1.732\) 等形式
【答案】\(\pm\sqrt{3}\)
圆心到直线距离 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)，由 \(\cos60^{\circ}=\dfrac{d}{1}\) 得 \(d=\dfrac{1}{2}\)，解得 \(k=\pm\sqrt{3}\)
13已知双曲线 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_1,F_2\)，点 \(P\) 在 \(C\) 的右支上，\(|PF_1|=3|PF_2|\)，\(\cos\angle F_1PF_2=\dfrac{1}{3}\)，则 \(C\) 的离心率为____；若 \(|PF_1|=6\)，则 \(\triangle F_1PF_2\) 的面积为____。
第一空：
第二空：
【答案】\(2\)；\(4\sqrt{2}\)
由 \(|PF_1|-|PF_2|=2a\) 和 \(|PF_1|=3|PF_2|\) 得 \(|PF_2|=a,|PF_1|=3a\)；由余弦定理 \(4c^2=9a^2+a^2-6a^2\times\dfrac{1}{3}=8a^2\)，\(e=\sqrt{2}\)；面积 \(=\dfrac{1}{2}\times6\times2\times\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}\)
14已知函数 \(f(x)=e^x-ax\) 有两个零点 \(x_1,x_2\ (x_1
【答案】\((e,+\infty)\)；\(\dfrac{e^2-1}{2e}\)
\(f'(x)=e^x-a\)，当 \(a>e\) 时有两个零点；由 \(e^{x_1}=ax_1, e^{x_2}=ax_2\) 和 \(x_2=x_1+2\) 解得 \(a=\dfrac{e^2-1}{2e}\)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15（13分）在 \(\triangle ABC\) 中，内角 \(A,B,C\) 的对边分别为 \(a,b,c\)，已知 \(b\cos C+c\cos B=2a\cos A\)。
（1）求 \(A\)；
（2）若 \(a=2\)，\(\triangle ABC\) 的面积为 \(\sqrt{3}\)，求 \(\triangle ABC\) 的周长。
自评得分： / 13分
【答案】（1）\(A=\dfrac{\pi}{3}\)；（2）周长为 \(6\)
（1）由正弦定理 \(\sin B\cos C+\sin C\cos B=2\sin A\cos A\)，即 \(\sin(B+C)=2\sin A\cos A\)，\(\sin A=2\sin A\cos A\)，\(\cos A=\dfrac{1}{2}\)，\(A=\dfrac{\pi}{3}\)。
（2）\(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{3}\)，\(bc=4\)；由余弦定理 \(a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc\)，\(4=(b+c)^2-12\)，\(b+c=4\)，周长 \(=6\)。
16（15分）如图，在四棱锥 \(P-ABCD\) 中，底面 \(ABCD\) 是边长为 \(2\) 的正方形，\(PA\perp\) 底面 \(ABCD\)，\(PA=2\)，点 \(E,F\) 分别为 \(PD,PC\) 的中点。
（1）求证：\(EF\parallel\) 平面 \(PAB\)；
（2）求平面 \(AEF\) 与平面 \(ABCD\) 所成角的余弦值。
自评得分： / 15分
【答案】（1）见解析；（2）\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
（1）\(E,F\) 分别为 \(PD,PC\) 中点，\(EF\parallel CD\parallel AB\)，\(EF\not\subset\) 平面 \(PAB\)，\(AB\subset\) 平面 \(PAB\)，所以 \(EF\parallel\) 平面 \(PAB\)。
（2）建立空间直角坐标系，\(A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)\)，\(E(0,1,1),F(1,1,1)\)，平面 \(AEF\) 法向量 \(\vec{n}=(0,1,-1)\)，平面 \(ABCD\) 法向量 \(\vec{m}=(0,0,1)\)，\(\cos\theta=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
17（15分）已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\) 的离心率为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点 \((2,1)\)。
（1）求 \(C\) 的方程；
（2）过点 \(P(0,1)\) 的直线 \(l\) 交 \(C\) 于 \(A,B\) 两点，求 \(\triangle OAB\) 面积的最大值。
自评得分： / 15分
【答案】（1）\(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1\)；（2）最大值为 \(2\)
（1）\(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(c^2=\dfrac{3}{4}a^2\)，\(b^2=\dfrac{1}{4}a^2\)；代入点 \((2,1)\) 得 \(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=1\)，解得 \(a^2=8,b^2=2\)。
（2）设直线 \(y=kx+1\)，联立得 \((1+4k^2)x^2+8kx-4=0\)，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)，面积 \(S=\dfrac{1}{2}\times1\times|x_1-x_2|\)，当 \(k=0\) 时 \(S_{max}=2\)。
18（17分）已知函数 \(f(x)=\ln x+\dfrac{a}{x}-1\ (a\in\mathbb{R})\)。
（1）讨论 \(f(x)\) 的单调性；
（2）若 \(f(x)\) 有两个极值点 \(x_1,x_2\ (x_1
自评得分： / 17分
【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）\(f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a}{x^2}=\dfrac{x-a}{x^2}\)，当 \(a\leq0\) 时 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 递增；当 \(a>0\) 时，在 \((0,a)\) 递减，在 \((a,+\infty)\) 递增。
（2）由题意 \(f'(x)=0\) 有两个解，即 \(x-a=0\) 需结合其他条件，实际上 \(f(x)\) 只有一个极值点 \(x=a\)，题目条件需修正。
19（17分）某工厂生产某种零件，质量指标 \(Z\sim N(\mu,\sigma^2)\)，从生产线上随机抽取 \(100\) 个零件，测得质量指标的平均值 \(\bar{x}=65\)，方差 \(s^2=100\)。
（1）求 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 的估计值；
（2）若质量指标在 \([55,85]\) 内的零件为合格品，求合格品的概率估计值；
（3）现对生产线进行技术改造，改造后抽取 \(50\) 个零件，测得平均值为 \(67\)，方差为 \(64\)，问是否有显著性提高？（参考：\(P(|Z-\mu|<\sigma)\approx0.6827\)，\(P(|Z-\mu|<2\sigma)\approx0.9545\)）
自评得分： / 17分
【答案】（1）\(\mu=65,\sigma=10\)；（2）\(0.8185\)；（3）有显著性提高
（1）\(\hat{\mu}=\bar{x}=65\)，\(\hat{\sigma}=s=10\)。
（2）\(P(55\leq Z\leq85)=P(\mu-\sigma\leq Z\leq\mu+2\sigma)=\dfrac{0.6827+0.9545}{2}=0.8185\)。
（3）改造后 \(\bar{x}=67>65\)，且方差减小，质量有显著提高。
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