大圣学成高考数学公式速记速查系统

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集合与常用逻辑

🎯 记忆口诀

子集个数记清楚，n个元素二n次真子集减一，空集全集别疏忽交取公共并全包，补集剩余往外挑

📐 核心公式

交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集：∁ᵤA={x|x∈U,x∉A} 子集数：2ⁿ个真子集：2ⁿ-1个非空真子集：2ⁿ-2个

📝 经典考题

已知集合A={1,2,3}，求集合A真子集个数解析：元素个数n=3，真子集个数=2³-1=7个真子集为：∅、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}

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二次函数

🎯 记忆口诀

二次函数抛物线，对称轴看负b比2a 判别式算Δ大小，交点个数立马晓顶点坐标最值处，配方求值少失误

📐 核心公式

一般式：y=ax²+bx+c (a≠0) 对称轴：x=-b/(2a) 判别式：Δ=b²-4ac Δ>0 两交点 Δ=0 一交点 Δ<0 无交点顶点式：y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/(4a) 最值：当x=-b/(2a)时，y最值=(4ac-b²)/(4a)

📝 经典考题

求y=x²-2x-3的对称轴与最小值解析：a=1, b=-2, c=-3 对称轴：x=-(-2)/(2×1)=1 最小值：y=(4×1×(-3)-(-2)²)/(4×1)=-4

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指数对数运算

🎯 记忆口诀

指数运算同底算，乘加除减幂相乘对数加减变乘除，幂次提前放前头换底公式通用招，换算求值不用愁

📐 核心公式

指数：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ 对数：logₐ(MN)=logₐM+logₐN logₐ(M/N)=logₐM-logₐN 幂的对数：logₐMⁿ=n·logₐM 换底公式：logₐb=logᶜb/logᶜa=lnb/lna=lgb/lga 特殊：logₐa=1 logₐ1=0 a^(logₐN)=N

📝 经典考题

计算log₂8 + log₃9 解析：log₂8=log₂2³=3 log₃9=log₃3²=2 原式=3+2=5

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三角函数与解三角形

🎯 记忆口诀

【诱导公式】奇变偶不变，符号看象限【和差二倍角】两角和差正余弦，正余交叉符号变二倍正弦二倍积，余弦三式灵活替【辅助角】正余合一辅助角，根号平方系数和【解三角】两边对角正弦求，两边夹角余弦筹三角面积两边夹，二分之一正弦搭

📐 核心公式

基本关系：sin²α+cos²α=1 1+tan²α=sec²α 诱导公式：sin(π/2-α)=cosα sin(π-α)=sinα 二倍角：sin2α=2sinαcosα cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理：a²=b²+c²-2bc·cosA 面积公式：S=½ab·sinC=½ac·sinB=½bc·sinA

📝 经典考题

三角形三边为3,4,5，求最大角的余弦值解析：最大角对最长边，即角C对边c=5 cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(9+16-25)/(2×3×4)=0 ∴ 最大角为90°，这是直角三角形

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等差等比数列

🎯 记忆口诀

等差公差恒定差，首项项数凑求和等比公比层层乘，q分1否两种形通项前和相减式，n取1时单独试

📐 核心公式

【等差数列】通项：aₙ=a₁+(n-1)d 求和：Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n-1)d/2 性质：若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+aᵧ 【等比数列】通项：aₙ=a₁·qⁿ⁻¹ 求和：q≠1时，Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) q=1时，Sₙ=na₁

📝 经典考题

等差数列1,3,5,7…，求前10项和解析：a₁=1，d=2，n=10 a₁₀=a₁+9d=1+18=19 S₁₀=10×(1+19)/2=100

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不等式

🎯 记忆口诀

均值不等有前提，正数定值相等齐平方和大两倍积，常用放缩解题宜绝对值式两头卡，中间取值范围查

📐 核心公式

基本不等式：(a+b)/2≥√ab (a,b>0，当且仅当a=b时取等) 常用变形：a+b≥2√ab ab≤(a+b)²/4 重要不等式：a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时取等）柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² 三角不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

📝 经典考题

已知x>0，求x+1/x的最小值解析：由基本不等式：x+1/x≥2√(x·1/x)=2 当且仅当x=1/x，即x=1时取等 ∴ 最小值为2

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平面向量

🎯 记忆口诀

坐标运算对应算，模长平方开根号点积为零两垂直，叉积为零线平行夹角余弦数量积，模长相乘做分母

📐 核心公式

设a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂) 加减：a±b=(x₁±x₂, y₁±y₂) 数乘：λa=(λx₁, λy₁) 数量积(点积)：a·b=x₁x₂+y₁y₂=|a||b|cosθ 模长：|a|=√(x₁²+y₁²) 垂直条件：a⊥b ⟺ a·b=0 ⟺ x₁x₂+y₁y₂=0 平行条件：a∥b ⟺ x₁y₂-x₂y₁=0

📝 经典考题

向量a=(1,2)与向量b=(2,k)垂直，求k 解析：垂直条件：a·b=0 1×2+2×k=0 2+2k=0，k=-1

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解析几何

🎯 记忆口诀

两点求差算斜率，点斜列式最常用点线距离绝对值，分母根号平方和椭圆分母看大小，a长b短焦点找双曲线差定距离，抛物开口看正负弦长搭配斜率式，韦达求值省步数

📐 核心公式

斜率：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁) 点线距离：d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²) 椭圆：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0) 焦点(±c,0)，c²=a²-b² 双曲线：x²/a²-y²/b²=1 焦点(±c,0)，c²=a²+b² 抛物线：y²=2px，焦点(p/2,0)，准线x=-p/2 弦长公式：|AB|=√(1+k²)|x₁-x₂|

📝 经典考题

求点(0,0)到直线x+y-2=0的距离解析：代入点线距离公式 d=|1×0+1×0-2|/√(1²+1²)=|-2|/√2=√2

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导数求导

🎯 记忆口诀

常数求导直接零，幂次降次系数乘正余求导互变换，指数对数记原型加减分别求导算，乘积前后交叉导分式上导下减上，分母平方别忘了切线斜率取导值，定点列式方程成

📐 核心公式

基本求导： (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ (eˣ)'=eˣ (lnx)'=1/x (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx 运算法则： (u±v)'=u'±v' (uv)'=u'v+uv' (u/v)'=(u'v-uv')/v² 切线方程：y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)

📝 经典考题

求y=x³在x=1处的切线斜率解析：y'=3x² 当x=1时，y'=3×1²=3 ∴ 切线斜率为3

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立体几何

🎯 记忆口诀

柱体底面积乘高，锥体三分之一瞧圆球表面积四派R方，体积三分之四立方

📐 核心公式

柱体体积：V=Sh（S为底面积）锥体体积：V=⅓Sh 球体体积：V=4/3·πr³ 球体表面积：S=4πr²

📝 经典考题

求半径为3的球的体积和表面积解析：体积V=4/3·π·3³=4/3·π·27=36π 表面积S=4π·3²=36π

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排列组合与二项式

🎯 记忆口诀

排列有序组合无，阶乘约分快速数二项展开看通项，下标组合次数降

📐 核心公式

排列数：A(n,m)=n!/(n-m)! 组合数：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!] 性质：C(n,m)=C(n,n-m) C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2ⁿ 二项式定理：(a+b)ⁿ=ΣC(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ 通项：Tₖ₊₁=C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ

📝 经典考题

计算组合数C(4,2) 解析：C(4,2)=4!/[2!(4-2)!]=24/(2×2)=6 或直接计算：C(4,2)=(4×3)/(2×1)=6

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复数

🎯 记忆口诀

实虚分开做运算，共轭变换符号换模长平方实虚和，开方取值就做完

📐 核心公式

复数形式：z=a+bi (a,b∈R) 模长：|z|=√(a²+b²) 共轭复数：z̄=a-bi 性质：z·z̄=|z|²=a²+b² 四则运算：按多项式运算，i²=-1

📝 经典考题

已知z=3+4i，求|z|和z·z̄ 解析： |z|=√(3²+4²)=√25=5 z·z̄=(3+4i)(3-4i)=9+16=25

集合与常用逻辑

二次函数

指数对数运算

三角函数与解三角形

等差等比数列

不等式

平面向量

解析几何

导数求导

立体几何

排列组合与二项式

复数

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