2026年全国普通高考数学试卷

大圣学成 · 测评 | 估分  |  满分150分  |  共19题
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已答: 0/19 题 单选: -/40 多选: -/18 填空: -/15 解答: -/77
一、选择题（单选）本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1样本数据 \(6,\ 8,\ 4,\ 5,\ 12\) 的中位数为
【答案】B
将数据从小到大排序：\(4,\ 5,\ 6,\ 8,\ 12\)，共5个数，中位数为第3个数 \(\boxed{6}\)。
2已知平面向量 \(\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}\) 不共线，且 \(2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\)，则
【答案】A
由向量基本定理，对应系数相等：\(x=2\)，\(y=-3\)。
3已知集合 \(A=\left\{\sin\dfrac{7\pi}{6},\ \cos\dfrac{5\pi}{3},\ \tan\dfrac{5\pi}{4}\right\}\)，\(B=\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)，则 \(A\cap B=\)
【答案】C
\(\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\)，\(\cos\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\)，\(\tan\dfrac{5\pi}{4}=1\)，故 \(A=\left\{-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)，\(A\cap B=\left\{-\dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)。
4曲线 \(y=5x+8\ln x\) 在点 \((1,5)\) 处的切线方程为
【答案】D
\(y'=5+\dfrac{8}{x}\)，在 \(x=1\) 处切线斜率 \(k=5+8=13\)，切线方程：\(y-5=13(x-1)\)，即 \(\boxed{y=13x-8}\)。
5已知抛物线 \(C_1:y^2=2p_1x\ (p_1>0)\) 和 \(C_2:x^2=2p_2y\ (p_2>0)\) 均经过点 \((4,8)\)，则 \(C_1\) 的焦点与 \(C_2\) 的焦点之间的距离为
【答案】D
将 \((4,8)\) 代入 \(C_1\)：\(64=2p_1\times 4 \Rightarrow p_1=8\)，焦点 \(F_1(4,0)\)；代入 \(C_2\)：\(16=2p_2\times 8 \Rightarrow p_2=1\)，焦点 \(F_2\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\)；距离：\(|F_1F_2|=\sqrt{16+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}\)。
6已知函数 \(f(x)=\dfrac{x+2}{e^x+a}\) 的最大值为 \(f(0)\)，则 \(a=\)
【答案】B
\(f'(x)=\dfrac{a-(x+1)e^x}{(e^x+a)^2}\)，由 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处取最大值，故 \(f'(0)=0 \Rightarrow a=1\)。
7一零八塔共有 \(108\) 座塔，依山势自上而下排列成 \(12\) 行，记第 \(i\) 行塔的座数为 \(a_i\ (i=1,2,\cdots,12)\)，其中 \(a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=5\)，且 \(a_1,a_2,\cdots,a_{12}\) 是一个首项为 \(1\)、公差为 \(2\) 的等差数列。将 \(a_1,a_2,\cdots,a_{12}\) 分为 \(6\) 组，每组 \(2\) 个数，使得每组的 \(2\) 个数之和构成一个项数为 \(6\) 且公差为 \(d\ (d>0)\) 的等差数列，则 \(d=\)
【答案】C
\(a_n=2n-1\)，总和 \(S=144\)。分 \(6\) 组，每组和构成等差数列，当 \(d=6\) 时分组为 \((1,23),(3,21),(5,19),(7,17),(9,15),(11,13)\)，公差 \(d=6\) 符合条件。
8设 \(U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\ i=1,2,3\}\) 为空间中 \(64\) 个点构成的集合，点 \(P(1,1,1)\)。记样本空间 \(\Omega=C_U\{P\}\)，从 \(\Omega\) 中随机取一个点，定义随机变量 \(X\) 如下：对 \(\Omega\) 中的每个点 \(A(x_1,x_2,x_3)\)，令 \(X(A)=x_1+x_2+x_3\)，则 \(X\) 的数学期望为
【答案】C
\(\Omega\) 中共有 \(63\) 个点。由于 \(\{-2,-1,1,2\}\) 关于原点对称，对每个点 \((x_1,x_2,x_3)\in\Omega\)，其对称点也在 \(\Omega\) 中，两点的 \(X\) 值互为相反数，故期望 \(\boxed{E(X)=0}\)。
二、选择题（多选）本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9设 \(z=3+2i\)，则
【答案】A C D
A：\(\bar{z}=3-2i\) ✓；B：\(|z|=\sqrt{13}\neq 5\) ✗；C：\(z^2=(3+2i)^2=5+12i\) ✓；D：经验证 ✓。
10在空间中，\(A,B\) 为两个定点，动点 \(C\) 到直线 \(AB\) 的距离为 \(2\)，动点 \(D\) 到直线 \(AB\) 的距离为 \(1\)。若二面角 \(C\text{-}AB\text{-}D\) 为 \(60^\circ\)，则
【答案】A B D
A：三面角不等式得 \(\angle CAD\geq 60^\circ\) ✓；B：余弦定理得 \(CD\geq\sqrt{3}\) ✓；D：由线面垂直性质可证 ✓。
11已知圆 \(C_1:(x+1)^2+y^2=1\)，圆 \(C_2:(x-1)^2+y^2=1\)，圆 \(C_3:x^2+(y-\sqrt{3})^2=1\)。直线 \(l:y=kx+b\) 与 \(C_1,C_2,C_3\) 均有两个交点，记 \(l\) 被 \(C_1,C_2,C_3\) 截得的弦长分别为 \(s_1,s_2,s_3\)。则
【答案】B C D
A：✗；B：对称性可解得 3 条 ✓；C：多于 3 条 ✓；D：不等式求得最大值 ✓。
三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12双曲线 \(5x^2-6y^2=1\) 的离心率为 ________。
【答案】 \(\boxed{e=\sqrt{\dfrac{11}{6}}}\)
13已知 \(f(x)=2\sin(ax+\theta)\)（\(a\in\mathbb{Z},\ 0\leq\theta<2\pi\)）是偶函数，\(f(x)\) 在区间 \(\left(0,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) 单调递增，则 \(\theta=\) ________，\(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\) ________。
【答案】 \(\boxed{\theta=\pi},\ \boxed{f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}}\)
14设实数 \(q\) 满足：存在数列 \(\{a_n\}\)，使得对任意 \(n\in\mathbb{N}^*\)，均有 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2+n\)，且 \(\{a_n\}\) 中有某项是公比为 \(q\) 的等比数列，则 \(q\) 的最大值为 ________。
【答案】 \(\boxed{q=3}\)
四、解答题本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（13分）如图，在直三棱柱 \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(AC=BC\)，\(D,E\) 分别为 \(AB,AC\) 的中点。

(1) 证明：\(DE\parallel\) 平面 \(BCC_1B_1\)；

(2) 设 \(CC_1=2\)，直线 \(DE\) 与平面 \(ACC_1A_1\) 所成的角为 \(45^\circ\)，求直线 \(DE\) 到平面 \(BCC_1B_1\) 的距离。
【参考解答】

(1) \(D,E\) 分别为 \(AB,AC\) 的中点，由三角形中位线定理，\(DE\parallel BC\)。
又 \(BC\subset\) 平面 \(BCC_1B_1\)，\(DE\not\subset\) 平面 \(BCC_1B_1\)，故 \(DE\parallel\) 平面 \(BCC_1B_1\)。\(\checkmark\)

(2) 由 (1) 知 \(DE\parallel BC\)，故直线 \(DE\) 到平面 \(BCC_1B_1\) 的距离等于点 \(C\) 到该平面的距离。结合直三棱柱性质及已知条件可解得距离为 \(\boxed{1}\)。
16（15分）已知在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=3,\ BC=2\sqrt{3},\ \cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)。

(1) 求 \(\cos A\)；

(2) 设 \(D,E\) 两点满足：\(D\) 在 \(BA\) 的延长线上，\(DE\parallel BC\)，\(AE\perp AC\)。若 \(DE=\sqrt{6}\)，求 \(CE\)。
【参考解答】

(1) 由余弦定理：\(AC^2=9+12-2\times 3\times 2\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=9\)，故 \(AC=3\)。
\(\cos A=\dfrac{9+9-12}{2\times 3\times 3}=\boxed{\dfrac{1}{3}}\)。\(\checkmark\)

(2) 由 \(DE\parallel BC\) 得 \(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)，结合 \(AE\perp AC\) 可解得 \(\boxed{CE=3}\)。
17（15分）设整数 \(N\geq 2\)。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 \(N\) 次。当且仅当投中 \(1\) 次或 \(N\) 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 \(p\ (0
(1) 当 \(N=4,\ p=\dfrac{1}{3}\) 时，求 \(X\) 的分布列；

(2) 设 \(k,m\) 均为自然数。
  (i) 当 \(k\leq N-1\) 时，求 \(P(X>k)\)；
  (ii) 当 \(k+m\leq N-1\) 时，证明：\(P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)\)。
【参考解答】

(1) \(P(X=1)=\dfrac{1}{3}\)，\(P(X=2)=\dfrac{2}{9}\)，\(P(X=3)=\dfrac{4}{27}\)，\(P(X=4)=\dfrac{8}{27}\)。\(\checkmark\)

(2)(i) \(P(X>k)=(1-p)^k\)。\(\checkmark\)

(2)(ii) \(P(X>k+m\mid X>k)=(1-p)^m=P(X>m)\)。\(\checkmark\)
18（17分）已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\) 的左焦点为 \(F(-1,0)\)，离心率为 \(\dfrac{1}{2}\)。

(1) 求 \(C\) 的方程；

(2) 设 \(O\) 为坐标原点，过 \(F\) 且斜率大于 \(0\) 的动直线 \(l\) 与 \(C\) 交于 \(P,Q\) 两点，其中 \(Q\) 在第三象限，直线 \(PO\) 与 \(C\) 的另一个交点为 \(R\)。
  (i) 若 \(\triangle PQR\) 的面积是 \(\triangle PFO\) 的面积的 \(3\) 倍，求 \(l\) 的方程；
  (ii) 求 \(\tan\angle PQR\) 的最小值。
【参考解答】

(1) \(c=1\)，\(e=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=2\)，\(b^2=3\)。椭圆方程：\(\boxed{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1}\)。\(\checkmark\)

(2)(i) 联立解得 \(k=1\)，故 \(l:\ \boxed{y=x+1}\)。

(2)(ii) 最小值为 \(\boxed{\dfrac{4\sqrt{3}}{9}}\)。
19（17分）已知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\)，且当 \(x<0\) 时，\(f(x)=2^x\)。对任意 \(x_0\in\mathbb{R}\)，定义集合 \(D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}\)。

(1) 若当 \(x\geq 0\) 时，\(f(x)=1-x\)，求 \(D(-1)\)；

(2) 若 \(f(x)\) 是奇函数，\(f(x_1)\leq f(x_2)\)，且 \(x_1x_2\neq 0\)，证明：\(D(x_1)\supseteq D(x_2)\)；

(3) 设 \(f(x)\) 满足：若 \(f(x_1)\leq f(x_2)\)，则 \(D(x_1)\supseteq D(x_2)\)；当 \(0  (i) 证明：\(f(0)\geq 1\)；
  (ii) 证明：\(f(x)\) 在区间 \([0,+\infty)\) 单调递增。
【参考解答】

(1) 分段讨论得 \(\boxed{D(-1)=\left(0,\ \dfrac{3}{2}\right)}\)。\(\checkmark\)

(2) 由奇函数性质及条件可证 \(D(x_1)\supseteq D(x_2)\)。\(\checkmark\)

(3)(i) 反证法可证 \(f(0)\geq 1\)。\(\checkmark\)

(3)(ii) 任取 \(0\leq x_1
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例如：张老师、李同学
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满分 150 分
单选题0/40
多选题0/18
填空题0/15
解答题0/77
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